Question

4．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=5，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=2a_n+1，變形為：a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=6≠0，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其定義即可得出；
（II）由na_n=n（3•2ⁿ-1），數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n），利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=6≠0，∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}$=2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）
∴數(shù)列{a_n+1}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（4分）
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n=3•2ⁿ-1．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（6分）
（II）∵na_n=n（3•2ⁿ-1），
數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n），
令T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（10分）
∴S_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$+6．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．