Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分別是棱PA，CD的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BMN；
（2）求證：平面BMN⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BN=O，連結(jié)MO，AN，利用三角形中位線的性質(zhì)證明MO∥PC，利用線面平行的判定定理證明PC∥平面BMN；
（2）（方法一）證明BN⊥平面PAC；（方法二）證明PA⊥平面BMN，利用線面垂直證明平面與平面垂直．

解答 證明：（1）設(shè)AC∩BN=O，連結(jié)MO，AN，
因?yàn)?AB=\frac{1}{2}CD，AB∥CD$，N為CD的中點(diǎn)，
所以AB=CN，AB∥CN，所以四邊形ABCN為平行四邊形，
所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，所以MO∥PC．
又因?yàn)镸O?平面BMN，PC?平面BMN，所以PC∥平面BMN．
（2）（方法一）因?yàn)镻C⊥平面PDA，AD?平面PDA
所以PC⊥AD，由（1）同理可得，四邊形ABND為平行四邊形，
所以AD∥BN，所以BN⊥PC
因?yàn)锽C=AB，所以平行四邊形ABCN為菱形，所以BN⊥AC，
因?yàn)镻C∩AC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，所以BN⊥平面PAC
因?yàn)锽N?平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC．
（方法二）連結(jié)PN，因?yàn)镻C⊥平面PDA，PA?平面PDA，所以PC⊥PA
因?yàn)镻C∥MO，所以PA⊥MO，因?yàn)镻C⊥平面PDA，PD?平面PDA，所以PC⊥PD
因?yàn)镹為CD的中點(diǎn)，所以$PN=\frac{1}{2}CD$，由（1）$AN=BC=\frac{1}{2}CD$，所以AN=PN
又因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，所以PA⊥MN
因?yàn)镸N∩MO=M，MN?平面BMN，MO?平面BMN
所以PA⊥平面BMN，因?yàn)镻A?平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的判定，考查平面與平面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用定理是關(guān)鍵．