Question

7．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）=9，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)滿足f'（x）＜4，則不等式f（lnx）＞4lnx+1的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （e²，+∞）
• C． （-∞，e²）
• D． （0，e²）

Answer 1

分析 設(shè)t=lnx，則不等式f（lnx）＞4lnx+1等價為f（t）＞4t+1，設(shè)g（x）=f（x）-4x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)t=lnx，
則不等式f（lnx）＞4lnx+1等價為f（t）＞4t+1，
設(shè)g（x）=f（x）-4x-1，
則g′（x）=f′（x）-4，
∵f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜2，
∴g′（x）=f′（x）-4＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∵f（2）=9，∴g（2）=f（2）-4×2-1=9-9=0，
則當x＜2時，g（x）＞g（2）=0，
即g（x）＞0，則此時g（x）=f（x）-4x-1＞0，
即不等式f（x）＞4x+1的解為x＜2，
即f（t）＞4t+1的解為t＜2，
由lnx＜2，解得0＜x＜e²，
即不等式f（lnx）＞4nx+1的解集為（0，e²），
故選：D．

點評 本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．