Question

6．已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}1&a\\ 2&1\end{array}}]$的一個特征值λ=3所對應(yīng)的一個特征向量$\overrightarrow e=[{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]$，求矩陣A的逆矩陣A^-1．

Answer 1

分析 利用特征值與特征向量的定義，建立方程，求出矩陣A；求出|A|，即可寫出矩陣A的逆矩陣．

解答 解：由題意，$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{2}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
∴a+1=3，
∴a=2，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，
∵|A|=-3≠0，
∴A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{-3}}&{\frac{-2}{-3}}\\{\frac{-2}{-3}}&{\frac{1}{-3}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$．

點(diǎn)評 本題考查矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用、特征值與特征向量的計(jì)算，解題時要注意特征值與特征向量的計(jì)算公式的運(yùn)用．