Question

13．已知函數(shù)f（x）=2msin²x-（2$\sqrt{3}$）msinx•cosx+n（m＞0）的定義域?yàn)閇0，$\frac{π}{2}$]，值域?yàn)閇-5，4]，試求函數(shù)g（x）=msin（x+10°）+2ncos（x+40°）（x∈R）的最小正周期T和最值．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及變形，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由x的范圍求出$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，由題意和正弦函數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出m、n的值，利用兩角和的余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)g（x），由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的最小正周期T和最值．

解答 解：由題意得，f（x）=2msin²x-（2$\sqrt{3}$）msinx•cosx+n
=m（1-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x）+n=$-2msin（2x+\frac{π}{6}）+m+n$，
由$x∈[0，\frac{π}{2}]$得，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
∵m＞0，且值域?yàn)閇-5，4]，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+m+n=-5}\\{-2m×（-\frac{1}{2}）+m+n=4}\end{array}\right.$，
解得m=3、n=-2，
∴g（x）=3sin（x+10°）-4cos（x+40°）=3sin（x+10°）-4cos[（x+10°）+30°]
=3sin（x+10°）-4[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（x+10°）-$\frac{1}{2}$sin（x+10°）]
=5sin（x+10°）-2$\sqrt{3}$cos（x+10°）
=$\sqrt{37}sin（x+10°+α）$（其中$cosα=\frac{5}{\sqrt{37}}$、$sinα=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$），
∴g（x）最小正周期T是2π，
當(dāng)sin（x+10°+α）=1時(shí)，g（x）取到最大值是$\sqrt{37}$，
當(dāng)sin（x+10°+α）=-1時(shí)，g（x）取到最大值是-$\sqrt{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，考查整體思想，方程思想，化簡(jiǎn)、變形能力．