Question

8．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及變形，兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的減區(qū)間求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍和正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，求出f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由（1）得，f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
由$x∈[0，\frac{π}{4}]$得，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
則$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[\frac{1}{2}，1]$，∴$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1∈[2，3]$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域是[2，3]．

點評 本題考查正弦的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，考查整體思想，化簡、變形能力．