Question

16．設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則下列等式不恒成立的是（　�。�

• A． a²+b²+c²＞ab+bc+ca
• B． a-b+$\frac{1}{a-b}$≥2
• C． |a-b|+|b-c|≥|a-c|
• D． $\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$≤$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$

Answer 1

分析 A．a(chǎn)，b，c是互不相等的正數(shù)，可得（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，展開(kāi)化簡(jiǎn)即可判斷出結(jié)論；
B．a(chǎn)＜b時(shí)，（a-b）+$\frac{1}{a-b}$=-$[（b-a）+\frac{1}{b-a}]$≤-2，即可判斷出正誤；
C．由絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論；
D．平方作差$（\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}）^{2}$-$（\sqrt{a+3}+\sqrt{a}）^{2}$=2$\sqrt{{a}^{2}+3a+2}$-2$\sqrt{{a}^{2}+3a}$＞0，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：A．∵a，b，c是互不相等的正數(shù)，∴（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，展開(kāi)化為a²+b²+c²＞ab+bc+ca，因此恒成立；
B．a(chǎn)＜b時(shí)，（a-b）+$\frac{1}{a-b}$=-$[（b-a）+\frac{1}{b-a}]$≤-2，因此不恒成立；
C．由絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)可得：|a-b|+|b-c|≥|a-b+b-c|=|a-c|，因此恒成立；
D．∵$（\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}）^{2}$-$（\sqrt{a+3}+\sqrt{a}）^{2}$=2$\sqrt{{a}^{2}+3a+2}$-2$\sqrt{{a}^{2}+3a}$＞0，∴$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a+2}$＞$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{a}$，因此$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$，因此恒成立．
綜上可得：只有B不恒成立．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．