Question

5．設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)不共面的點(diǎn)，以$\frac{1}{2}$的概率在每對點(diǎn)之間一條邊，任意兩對點(diǎn)之間是否連邊是相互獨(dú)立的，則A，B可用（一條邊或若干條邊組成的）空間折線連接的概率為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 每對點(diǎn)之間是否連邊有2種可能，共有2⁶=64種情況，再分有AB邊，無AB邊但有CD邊和無AB邊也無CD邊三種情況下A，B可用折線連接數(shù)總和，由此能求出A，B可用折線連接的概率．

解答 解：每對點(diǎn)之間是否連邊有2種可能，共有2⁶=64種情況，
考慮其中A，B可用折線連接的情況數(shù)．
（1）有AB邊：共2⁵=32種情況；
（2）無AB邊，但有CD邊：此時(shí)A，B可用折線相連，當(dāng)且僅當(dāng)A與C、D中至少一點(diǎn)相連，且B與C、D中至少一點(diǎn)相連，
這樣的情況數(shù)為（2²-1）（2²-1）=9；
（3）無AB邊，也無CD邊：此時(shí)AC、BD相連有2²=4種，
AD，DB相連也有2²種情況，
但其中AC，CB，AD，DB均相連的情況被重復(fù)計(jì)了一次，
故A、B可用折線連結(jié)的情況數(shù)為2²+2²-1=7，
以上三種情況數(shù)總和為：32+9+7=48，
故A，B可用折線連接的概率為：p=$\frac{48}{64}=\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．