Question

15．已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點，離心率e=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點，設(shè)點M（m，0）是線段OF上的一個動點，且（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），拋物線方程化為x²=4y，其焦點為（0，1），進而求得橢圓的一個頂點，即b，利用離心率求得a和c關(guān)系進而求得a，則橢圓的方程可得；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程，利用韋達定理結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得m的取值范圍；

解答 解：（1）由橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
拋物線方程化為x²=4y，其焦點為（0，1）則橢圓C的一個頂點為（0，1），即b=1
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得：a²=5，
所以橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（2）由（1）得F（2，0），則0≤m≤2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程，消去y可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0
則x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}}{5{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{5{k}^{2}+1}$，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂），
$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，y₂-y₁）
∵（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0
∴$\frac{20{k}^{2}}{5{k}^{2}+1}$-2m-$\frac{4{k}^{2}}{5{k}^{2}+1}$=0
∴k²=$\frac{m}{8-5m}$，
∴k²=$\frac{m}{8-5m}$＞0，
解得：0＜m＜$\frac{8}{5}$，
∴當0＜m＜$\frac{8}{5}$時，（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）⊥$\overrightarrow{AB}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．