Question

2．已知定義在R上的二次函數(shù)f（x）滿足：f（x）=-x²+bx+c，且f（x）=f（1-x）．對(duì)于數(shù)列{a_n}，若a₁=0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列的充要條件；
（2）求c的取值范圍，使數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，求得b=1，由數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列等價(jià)為a_n+1＜a_n，即為
a_n+1-a_n＜0，即c＜a_n²恒成立，求得a_n²的最小值，即可得到c的范圍；
（2）由題意可得a_n+1-a_n＞0，即c＞a_n²恒成立，由二次函數(shù)的配方和單調(diào)性，可得a_n≤$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列遞增，即可得到所求c的范圍．

解答 解：（1）f（x）=f（1-x），可得f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$，即b=1，
對(duì)于數(shù)列{a_n}，若a₁=0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
即有a_n+1=-a_n²+a_n+c，
則a_n+1-a_n=c-a_n²，
數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列等價(jià)為a_n+1＜a_n，即為
a_n+1-a_n＜0，即c＜a_n²恒成立，
由a_n²≥0，且a₁=0，則c＜0．
故數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列的充要條件為c＜0；
（2）數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，a_n+1＞a_n，即為
a_n+1-a_n＞0，即c＞a_n²恒成立，
由a_n+1=-a_n²+a_n+c=-（a_n-$\frac{1}{2}$）²+c+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)a_n≤$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列遞增，即有a_n²≤$\frac{1}{4}$．
可得c＞$\frac{1}{4}$．
則c＞$\frac{1}{4}$，使數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，考查二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．