Question

14．已知點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-2π＜φ≤0）圖象上的任意兩點(diǎn)，且角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-$\sqrt{3}$），已知|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時(shí)，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，先求tanφ=-$\sqrt{3}$，根據(jù)φ的范圍，可求φ的值，再求出函數(shù)的周期，再利用周期公式求出ω的值，從而可求函數(shù)解析式．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（3）由題意可得，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時(shí)，f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，從而可得$\left\{{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}（m-1）+2m≥0}\\{2（m-1）+2m≥0}\end{array}}\right.$，可得m的范圍．

解答 （本題滿分為16分）
解：（1）∵角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P（1，-\sqrt{3}）$，
∴$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，
∵$tanφ=-\sqrt{3}，又∴φ=-\frac{π}{3}$…（2分）
∵|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{3}$，∴$ω=\frac{2π}{T}=3$…（4分）
∴$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{3}）$…（5分）
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
可得：x∈$[\frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{18}，\frac{2}{3}kπ+\frac{11π}{18}]（k∈Z）$．
同理可得單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{18}，\frac{2}{3}kπ+\frac{11π}{18}]（k∈Z）$．…（9分）（無(wú)過(guò)程扣2分）
（3）∵$x∈[0，\frac{π}{3}]，3x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴$sin（3x-\frac{π}{3}）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
∴$f（x）∈[-\sqrt{3}，2]$…（11分）
令t=f（x），則不等式可化為（m-1）t+2m≥0對(duì)任意$t∈[-\sqrt{3}，2]$恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}（m-1）+2m≥0}\\{2（m-1）+2m≥0}\end{array}}\right.$，
∴$m≥\frac{1}{2}$．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，任意角的三角函數(shù)的定義，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．