Question

【題目】已知數(shù)列滿足：（常數(shù)），（，）.數(shù)列滿足：（）.

（1）求，的值；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）是否存在k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）經(jīng)過計算可知：，由數(shù)列滿足：，從而可求，；

（2）由條件可知：，得，兩式相減整理得，從而可求數(shù)列的通項公式；

（3）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)則由（2）可知，由，，可求得，2，證明，2時，滿足題意，說明為1，2時，數(shù)列是整數(shù)列即可.

（1）由已知得，，

所以，.

（2）由條件可知：（），①

所以（）.②

①②得.

即：.

因此：，

故（），又因為，，

所以.

（3）假設(shè)存在k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，則k為正整數(shù).

由（2）知（，2，3…）③

由，，所以或2，

檢驗：當(dāng)時，為整數(shù)，

利用，，結(jié)合③，各項均為整數(shù)；

當(dāng)時③變成（，2，3…）

消去，得：（）

由，，所以偶數(shù)項均為整數(shù)，

而，所以為偶數(shù)，故，故數(shù)列是整數(shù)列.

綜上所述，k的取值集合是.