Question

7．已知定義在R上的奇函數(shù)y=f（x），對(duì)于?x∈R都有f（1+x）=f（1-x），當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=log₂（-x），則函數(shù)g（x）=f（x）-2在（0，8）內(nèi)所有的零點(diǎn)之和為（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性之間的關(guān)系求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．

解答 解：∵奇函數(shù)y=f（x），對(duì)于?x∈R都有f（1+x）=f（1-x），
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
則f（2+x）=-f（x），
即f（4+x）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
若0＜x≤1，則-1≤-x＜0，
則f（-x）=log₂x=-f（x），
則f（x）=-log₂x，0＜x≤1，
若1≤x＜2，則-1≤x-2＜0，
∵f（2+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
則f（x）=-f（x-2）=-log₂（2-x），1≤x＜2，
若2＜x＜3，則0＜x-2＜1，f（x）=-f（x-2）=log₂（x-2），2＜x＜3，
由g（x）=f（x）-2=0得f（x）=2，
作出函數(shù)f（x）在（0，8）內(nèi)的圖象如圖：
由圖象知f（x）與y=2在（0，8）內(nèi)只有4個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，由f（x）=-log₂x=2，得x=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，由f（x）=-log₂（2-x）=2得x=$\frac{7}{4}$，
則在區(qū)間（4，5）內(nèi)的函數(shù)零點(diǎn)x=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$，
在區(qū)間（5，6）內(nèi)的函數(shù)零點(diǎn)x=$\frac{7}{4}$+4=$\frac{23}{4}$，
則在（0，8）內(nèi)的零點(diǎn)之和為$\frac{1}{4}$+$\frac{7}{4}$+$\frac{17}{4}$+$\frac{23}{4}$=$\frac{48}{4}$=12
故在（0，8）內(nèi)所有的零點(diǎn)之12，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．