Question

17．設(shè){a_n}是有窮數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)n≥2．定義一個(gè)變換Ψ：將數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n變成a₃，a₄，…，a_n，a_n+1，其中a_n+1=a₁+a₂是變換所產(chǎn)生的一項(xiàng)．從數(shù)列1，2，3…，2²⁰¹⁶開始，反復(fù)實(shí)施變換Ψ，直到只剩下一項(xiàng)而不能變換為止，則變換所產(chǎn)生的所有項(xiàng)的和為（　�。�

• A． （2²⁰¹⁵+2⁴⁰³¹）²⁰¹⁶
• B． 2²⁰¹⁵+2⁴⁰³¹
• C． 2016（2²⁰¹⁵+2⁴⁰³¹）
• D． 2016（2²⁰¹⁶+2⁴⁰³²）

Answer 1

分析 利用Ψ變換的意義，從數(shù)列1，2，3，…，2²⁰¹⁶開始，反復(fù)實(shí)施變換Ψ2²⁰¹⁵次得到：1+2，3+4，…，（2²⁰¹⁶-1）+2²⁰¹⁶；…依此類推，反復(fù)實(shí)施變換Ψ2^2016-2015次得到：1+2+3+…+2²⁰¹⁵，（2²⁰¹⁵+1）+（2²⁰¹⁵+2）+…+（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁵），再經(jīng)過(guò)一次η變換即可得到1+2+3+…+2²⁰¹⁶，因?yàn)榻?jīng)過(guò)每一次Ψ變換得到所有項(xiàng)的和為2²⁰¹⁵+2⁴⁰³¹，共需要經(jīng)過(guò)1+2+…+2²⁰¹⁵+1=2²⁰¹⁶次Ψ變換，即可得到答案．

解答 解：從數(shù)列1，2，3，…，2²⁰¹⁶開始，反復(fù)實(shí)施變換Ψ2²⁰¹⁵次得到：1+2，3+4，…，（2²⁰¹⁶-1）+2²⁰¹⁶；
對(duì)上述數(shù)列反復(fù)實(shí)施變換Ψ2²⁰¹⁴次得到1+2+3+4，5+6+7+8，…，（2²⁰¹⁶-3）+（2²⁰¹⁶-2）+（2²⁰¹⁶-1）+2²⁰¹⁶；
…
依此類推，反復(fù)實(shí)施變換Ψ2^2016-2015次得到：1+2+3+…+2²⁰¹⁵，（2²⁰¹⁵+1）+（2²⁰¹⁵+2）+…+（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁵），
再經(jīng)過(guò)一次Ψ變換即可得到1+2+3+…+2²⁰¹⁶，
∵經(jīng)過(guò)每一次Ψ變換得到所有項(xiàng)的和都為$1+2+3+…+{2}^{2016}=\frac{（1+{2}^{2016}）•{2}^{2016}}{2}$=2²⁰¹⁵+2⁴⁰³¹，
共需要經(jīng)過(guò)1+2+…+2²⁰¹⁵+1=$\frac{1×（1-{2}^{2016}）}{1-2}+1={2}^{2016}$次Ψ變換．
則變換所產(chǎn)生的所有項(xiàng)的和為2016（2²⁰¹⁵+2⁴⁰³¹）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題是在新定義下的數(shù)列求和問(wèn)題，正確理解Ψ變換、變換的次數(shù)、經(jīng)過(guò)每一次Ψ變換得到所有項(xiàng)的和是解題的關(guān)鍵，是中檔題．