Question

4．已知集合A={x|mx²+2$\sqrt{2}$x-2≤0}，B={x|mx²+2$\sqrt{2}$x+1≥0}，且A∩B有且僅有一個元素，則實數(shù)m的取值的集合為{-2}．

Answer 1

分析 由A∩B有且僅有一個元素，得到1≤mx²+2$\sqrt{2}$x≤2，有唯一的解，需要分類討論，問題得以解決．

解答 解：∵A∩B有且僅有一個元素，
∴1≤mx²+2$\sqrt{2}$x≤2，有唯一的解，
當(dāng)m=0時，此時A∩B={x|$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$}，不滿足題意，
當(dāng)m≠0時，設(shè)f（x）=mx²+2$\sqrt{2}$x，則對稱軸為x=-$\frac{\sqrt{2}}{m}$，f（-$\frac{\sqrt{2}}{m}$）=-$\frac{2}{m}$，
若m＞0，則f（x）_min=f（-$\frac{\sqrt{2}}{m}$）=-$\frac{2}{m}$=2，解得m=-1（舍去），
若m＜0，則f（x）_max=f（-$\frac{\sqrt{2}}{m}$）=-$\frac{2}{m}$=1，解得m=-2，
故實數(shù)m的取值的集合為{-2}

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的問題，以及集合的交集的運(yùn)算，屬于中檔題．