Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=2^x，若對x∈[1，2]，不等式af（x）+g（2x）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． $[{-2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $[{-\frac{17}{6}，+∞}）$
• D． $[{-\frac{257}{60}，+∞}）$

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，解出奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）的表達式，將這個表達式不等式af（x）+g（2x）≥0，令t=2^x-2^-x，則t＞0，通過變形可得a≥-（t+$\frac{2}{t}$），討論出右邊在x∈[1，2]的最大值，可以得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，g（x）為定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，結(jié)合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化簡為$\frac{a}{2}$（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）≥0
∵1≤x≤2
∴$\frac{3}{2}$≤2^x-2^-x≤$\frac{15}{4}$
令t=2^x-2^-x，則t＞0，因此將上面不等式整理，得：a≥-（t+$\frac{2}{t}$）．
∵$\frac{3}{2}$≤t≤$\frac{15}{4}$
∴$\frac{17}{6}$≤t+$\frac{2}{t}$≤$\frac{257}{60}$
∴a≥-$\frac{17}{6}$．
故選：C．

點評 本題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查了函數(shù)求表達式以及不等式恒成立等知識點，屬于難題．合理地利用函數(shù)的基本性質(zhì)，再結(jié)合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關(guān)鍵．