Question

19．已知向量$\overrightarrow a$=（2sin²x，1），$\overrightarrow b$=（1，-1），x∈R．
（1）當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，求下列$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+3，問(wèn)：x為何值時(shí)，f（x）取得最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$x=\frac{π}{6}$時(shí)，求出$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)，利用平面向量加減運(yùn)算法則，求出$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$坐標(biāo)．
（2）由函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+3，求出）$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，再求出f（x）的解析式，利用三角函數(shù)圖象及性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）由題知：$\overrightarrow b$=（1，-1），
當(dāng)$x=\frac{π}{6}$時(shí)，$\overrightarrow a=（2{sin^2}\frac{π}{6}，1）=（\frac{1}{2}，1）$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，1）+（1，-1）=（\frac{1}{2}+1，1-1）=（\frac{3}{2}，0）$．
故$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）∵$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=1×2sin²x+1×（-1）=2sin²x-1，
那么：f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+3
=2sin²x-1+3
∴f（x）=3-cos2x，
由余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可知：
當(dāng)2x=2kπ+π時(shí)，f（x）取得最大值，即f（x）_max=3+1=4，此時(shí)$x=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，
故函數(shù)f（x）有最大值為4，此時(shí)$x=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的基本運(yùn)算和三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．