Question

3．如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，且D，C，E，G四點(diǎn)共圓．
（Ⅰ）求證：∠BAD=∠ACG；
（Ⅱ）若GC=1，求AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得，G為△ABC的重心，根據(jù)D、C、E、G 四點(diǎn)共圓，可得∠ADE=∠ACG，DE∥AB，故有∠BAD=∠ADE，從而得到∠BAD=∠ACG．
（Ⅱ）延長CG交AB于F，則F為AB的中點(diǎn)，且CG=2GF．證得△AFG∽△CFA，可得$\frac{FA}{FC}$=$\frac{FG}{FA}$，即 FA²=FG•FC，根據(jù)條件化為即AB=$\sqrt{3}$GC，從而得出結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，
∴G為△ABC的重心．
連結(jié)DE，因?yàn)镈、C、E、G 四點(diǎn)共圓，則∠ADE=∠ACG．
又因?yàn)锳D、BE為△ABC的兩條中線，
所以點(diǎn)D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，故DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
從而∠BAD=∠ACG．
解：（Ⅱ）∵G為△ABC的重心，延長CG交AB于F，則F為AB的中點(diǎn)，且CG=2GF．
在△AFC與△GFA中，因?yàn)椤螰AG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，
所以△AFG∽△CFA，
∴$\frac{FA}{FC}$=$\frac{FG}{FA}$，即 FA²=FG•FC．
因?yàn)镕A=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$GC，F(xiàn)C=$\frac{3}{2}$GC，
∴$\frac{1}{4}$•AB²=$\frac{3}{4}$CG²，即AB=$\sqrt{3}$GC，
又∵GC=1，
所以AB=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．