Question

5．如圖，是一塊足球訓(xùn)練場地，其中球門AB寬7米，B點(diǎn)位置的門柱距離邊線EF的長為21米，現(xiàn)在有一球員在該訓(xùn)練場地進(jìn)行直線跑動中的射門訓(xùn)練．球員從離底線AF距離x（x≥10）米，離邊線EF距離a（7≤a≤14）米的C處開始跑動，跑動線路為CD（CD∥EF），設(shè)射門角度∠ACB=θ．
（1）若a=14，
①當(dāng)球員離底線的距離x=14時，求tanθ的值；
②問球員離底線的距離為多少時，射門角度θ最大？
（2）若tanθ=$\frac{1}{3}$，當(dāng)a變化時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用差角的正切函數(shù)求出tanθ的值；
②利用函數(shù)的單調(diào)性，可得球員離底線的距離為多少時，射門角度θ最大；
（2）利用$tanθ=\frac{7x}{{{x^2}+（28-a）（21-a）}}=\frac{1}{3}$，則-x²+21x=a²-49a+28×21，因?yàn)?≤a≤14，所以98≤a²-49a+28×21≤294即可求x的取值范圍．

解答 解：在△ACD中，設(shè)$∠ACD=α，tanα=\frac{AD}{CD}=\frac{AD}{x}$，
在△BCD中，設(shè)$∠BCD=β，tanβ=\frac{BD}{CD}=\frac{BD}{x}$，$tanθ=tan（α-β）=\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}=\frac{{\frac{AD}{x}-\frac{BD}{x}}}{{1+\frac{AD}{x}•\frac{BD}{x}}}=\frac{7x}{{{x^2}+AD•BD}}$…（3分）
（1）當(dāng)a=14時，AD=14，BD=7，
①若x=14，則$tanθ=\frac{7×14}{{{{14}^2}+7×14}}=\frac{1}{3}$；                         …（6分）
②因?yàn)?f（x）=x+\frac{14•7}{x}$在x≥10時單調(diào)遞增，
所以$tanθ=\frac{7x}{{{x^2}+14•7}}=\frac{7}{{x+\frac{14•7}{x}}}≤\frac{7}{{10+\frac{14•7}{10}}}=\frac{35}{99}$，
所以當(dāng)x=10時射門角度θ最大；                              …（10分）
（2）AD=28-a，BD=21-a，
$tanθ=\frac{7x}{{{x^2}+（28-a）（21-a）}}=\frac{1}{3}$，則-x²+21x=a²-49a+28×21…（12分）
因?yàn)?≤a≤14，所以98≤a²-49a+28×21≤294，
則98≤-x²+21x≤294，即$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-21x+294≥0⇒x∈R\\{x^2}-21x+98≤0⇒7≤x≤14\end{array}\right.$，所以7≤x≤14
又x≥10，所以10≤x≤14
所以x的取值范圍是[10，14]．                                   …（15分）
答（1）①當(dāng)球員離底線的距離x=14時，tanθ的值為$\frac{1}{3}$；
②當(dāng)球員離底線的距離為10時，射門角度θ最大；
（2）$tanθ=\frac{1}{3}$，則x的取值范圍是[10，14]．                          …（16分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的確立，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．