Question

11．設函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{ax}{x+1}$（x＞-1）．
（Ⅰ）當a=1時，討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a＞0時，設f（x）在x=x₀處取得最小值，求證：f（x₀）≤1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，求出函數(shù)f（x）的解析式和導函數(shù)，利用f′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，f′（x）＜0，函數(shù)單調遞減；
（Ⅱ）當a＞0時，求導，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性求得函數(shù)的最小值，利用f′（x₀）=0，求得a的值，構造輔助函數(shù)g（x）=e^x（-x²-x+1），（x＞-1），求導，求出函數(shù)的g（x）的極大值，由g（x）≤g（0）=0，即可證明f（x₀）≤1．

解答 解：（I）當a=1時，f′（x）=e^x-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，…（1分）
∵e^x單調遞增，-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$（x＞-1）單調遞增，
∴f′（x）在（-1，+∞）單調遞增，且f′（0）=0，
∴當-1＜x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0，
故f（x）在（-1，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增                 …（5分）
（II）證明：當a＞0時，f′（x）=e^x-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
∵e^x單調遞增，-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$（x＞-1）單調遞增，
∴f′（x）在（-1，+∞）單調遞增．
又f′（2$\sqrt{a}$-1）=${e}^{2\sqrt{a}-1}$-$\frac{a}{（2\sqrt{a}）^{2}}$＞$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{4}$，當b滿足-1＜b＜$\sqrt{a}-1$且b＜0時，f′（b）＜0，故f′（x）存在唯一零點，設零點為x₁，
當x∈（-1，x₁）時，f′（x）＜0；當x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-1，x₁）單調遞減，在（x₁，+∞）單調遞增，
∴當x=x₁時，f（x）取得最小值，由條件可得x₁=x₀，f（x）的最小值為f（x₀）．…（8分）
由于f′（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}$=0，
∴a=${e}^{{x}_{0}}$•$（{x}_{0}+1）^{2}$，
f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$=${e}^{{x}_{0}}$-${e}^{{x}_{0}}$•x₀•（x₀+1）=${e}^{{x}_{0}}$（-${x}_{0}^{2}$-x₀+1），…（10分）
設g（x）=e^x（-x²-x+1），（x＞-1），
則g′（x）=e^x（-x²-3x）=-x（x+3）e^x，
令g′（x）＞0，得-1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，
故g（x）在（-1，0）單調遞增，（0，+∞）單調遞減，g（x）≤g（0）=0，
故f（x₀）=g（x₀）≤1．…（12分）

點評 本題考查導數(shù)的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是正確求導，并會根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的單調性，考查分析和計算能力，屬于中檔題．