Question

已知直線l：x-y+4=0，一組直線l₁，l₂，…l_2n（n∈N^*）都與直線l平行，到直線l的距離依次為d，2d，…2nd（d＞0），且直線l_n恰好過(guò)原點(diǎn)．
（1）求出l_i（1≤i≤2n，i∈N^*）的方程（用n，i表示）；
（2）當(dāng)l₅被兩坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)為2

2

時(shí)，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由題意求出直線l_n的方程為x-y=0，由題意知直線l_n到直線l的距離為nd，代入點(diǎn)到直線的距離公式求出d，設(shè)直線l_i的方程為x-y+c_i=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出c_i；
（2）由（1）求出l₅的方程，求出l₅與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理和條件列出方程，再求出n的值．

解答： 解：（1）設(shè)直線l_i（1≤i≤2n，i∈N^*）的方程為x-y+c_i=0，
因?yàn)橹本�l_n的方程為x-y=0，且直線l_n到直線l的距離為nd，
所以

4

2

=nd，則d=

4

2 n

=

2 2

n

，
因?yàn)榈街本�l的距離為id，所以

|4-ci|

2

=id=i

2 2

n

，
解得c_i=4(1-

i

n

)，
所以直線l_i（1≤i≤2n，i∈N^*）的方程為x-y+4(1-

i

n

)=0；
（2）由（1）得，l₅的方程是：x-y+4(1-

5

n

)=0，
令x=0得y=4(1-

5

n

)，令y=0得x=-4(1-

5

n

)，
因?yàn)閘₅被兩坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)為2

2

時(shí)，
所以(2

2

)2=42(1-

5

n

)2+42(1-

5

n

)2，
解得n=10或

10

3

（舍去），則n的值是10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線平行的條件，直線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，屬于中檔題．