Question

9．已知函數f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）該函數的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到；
（3）利用“五點作圖法”畫出函數f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式將函數化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求其最小正周期；
（2）根據函數圖象變換規(guī)律，寫出圖象變換過程；
（3）先將內層函數ωx+φ看作整體，取正弦函數的五個關鍵點橫坐標值，列出函數取值表，再依表描點，用平滑的曲線將其連接即可得函數f（x）在一個周期內的圖象

解答 解：（1）f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1，x∈R．
=2sin²x+2sinxcosx-1，
=sin2x-cos2x，
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）y=sinx沿x軸向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度得到y(tǒng)=sin（x-$\frac{π}{4}$），
將y=sin（x-$\frac{π}{4}$）圖象橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$，得到y(tǒng)=sin（2x-$\frac{π}{4}$），
將y=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的圖象縱坐標伸長為原來的$\sqrt{2}$倍，得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；
（3）列表：

2x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$
y	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	0

函數f（x）在一個周期內的圖象如圖：

點評 本題考察了將三角函數式通過三角變換公式化為y=Asin（ωx+φ）的形式的技巧，三角恒等變換規(guī)律，三角函數的圖象和性質，五點法作y=Asin（ωx+φ）型函數圖象的步驟，屬于中檔題．