20.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且BG:GC=DH:HC=1:2,求證:
(1)E,F(xiàn),G,H四點共面;
(2)EG與HF的交點在直線AC上.

分析 (1)推導出GH∥BD,EF∥BD,從而EF∥GH,由此能證明E,F(xiàn),G,H四點共面.
(2)推導出EF∥GH,且EF≠GH,從而EG與FH必相交,設(shè)交點為M,由此能證明EG與HF的交點在直線AC上.

解答 證明:(1)∵BG:GC=DH:HC=1:2,
∴GH∥BD,
∵E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,∴EF∥BD,
∴EF∥GH,
∴E,F(xiàn),G,H四點共面.
(2)∵G、H不是BC、CD的中點,
∴EF∥GH,且EF≠GH,
∴EG與FH必相交,設(shè)交點為M,
∵EG?平面ABC,HG?平面ACD,
∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD,
∵平面ABC∩平面ACD=AC,
∴M∈AC,
∴EG與HF的交點在直線AC上.

點評 本題考查四點共面的證明,考查兩直線的交點在直線上的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理運用.

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