Question

20．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2，求證：
（1）E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出GH∥BD，EF∥BD，從而EF∥GH，由此能證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）推導(dǎo)出EF∥GH，且EF≠GH，從而EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，由此能證明EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．

解答 證明：（1）∵BG：GC=DH：HC=1：2，
∴GH∥BD，
∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，
∴EF∥GH，
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）∵G、H不是BC、CD的中點(diǎn)，
∴EF∥GH，且EF≠GH，
∴EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，
∵EG?平面ABC，HG?平面ACD，
∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，
∵平面ABC∩平面ACD=AC，
∴M∈AC，
∴EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共面的證明，考查兩直線的交點(diǎn)在直線上的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理運(yùn)用．