Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=1，a=$\sqrt{3}$，b=1，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由圖象求出A、T，利用周期公式求出ω，把點$（\frac{π}{6}，2）$代入解析式列出方程，結(jié)合條件求出φ的值；
（2）根據(jù)（1）化簡f（A）=1，根據(jù)A的范圍和特殊角的正弦值求出A，結(jié)合條件和正弦定理求出B，由內(nèi)角和定理求出C，即可求出三角形的面積．

解答 解：（1）由圖象可知A=2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（1分），
$\frac{T}{4}=\frac{5}{12}π-\frac{π}{6}=\frac{π}{4}$，∴$T=π，即ω=\frac{2π}{π}=2$    ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）
又∵函數(shù)圖象過$（\frac{π}{6}，2）$，
∴$2×\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z），且|φ|＜\frac{π}{2}∴k=0，φ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（6分）
（2）∵$f（A）=2sin（{2A+\frac{π}{6}}）=1$，∴$sin（{2A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}，即2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
∴$A=\frac{π}{3}$﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（8分）
在△ABC中，由正弦定理$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}，即\frac{1}{sinB}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}$，
解得$sinB=\frac{1}{2}，又∵b＜a，B=\frac{π}{6}$，
∴$C=π-A-B=\frac{π}{2}$﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（11分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（12分）

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象利用待定系數(shù)法求其解析式，以及正弦定理的應用，注意內(nèi)角的范圍和邊角關系，屬于中檔題．