Question

19．設(shè)直線l與拋物線y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作l的垂線，垂足為M，當(dāng)$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²-2x=0．

Answer 1

分析 確定$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值時(shí)，直線過定點(diǎn)（2，0），利用OM⊥AB，∠OMF=90°，可得點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)F為直徑的圓，其圓心（1，0），半徑為1，即可求出點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)直線l的方程為x=my+b，則
代入y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=b²，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-4b=（b-2）²-4，
∴b=2，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值，
∵OM⊥AB，
∴∠OMF=90°，
∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)F為直徑的圓，其圓心（1，0），半徑為1．
其方程為：x²+y²-2x=0．
故答案為：x²+y²-2x=0．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓錐曲線的軌跡問題、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線與其他圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生分析和解決問題的能力．