Question

12．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}（{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，記a=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，b=$\frac{f（sin\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$，c=$\frac{f（lo{g}_{π}3）}{io{g}_{π}3}$，則（　　）

• A． c＜b＜a
• B． c＜a＜b
• C． b＜a＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 由條件判斷 函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，再根據(jù)a=$\frac{f{（2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，b=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$，c=$\frac{f{（log}_{π}3）}{{log}_{π}3}$，可得 b＜c＜a．

解答 解：f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，不妨假設(shè)0＜x₁ ＜x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}（{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
即 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$-$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}•f{（x}_{1}）{-x}_{1}•f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，即 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
∴函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∵$\frac{1}{2}$＜log_π3＜2^0.2，a=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$=$\frac{f{（2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，b=$\frac{f（sin\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$，c=$\frac{f（lo{g}_{π}3）}{io{g}_{π}3}$=$\frac{f{（log}_{π}3）}{{log}_{π}3}$，∴b＜c＜a，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．