Question

17．已知函數(shù)$f（x）=1+\frac{1}{x}+lnx+\frac{lnx}{x}$，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)性即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x-lnx，則g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
即f′（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
f′（x）≥f′（1）=1，
故f（x）在（0，+∞）遞增．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．