Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x+a}{e^x}$（e為自然對數(shù)）在（0，f（0））處的切線方程為y=b．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)$g（x）=xf（x）+m{f^'}（x）+\frac{1}{e^x}$（m＞0），存在實數(shù)x₁，x₂∈[0，1]，使得2g（x₁）＜g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{1-x-a}{{e}^{x}}$，從而根據(jù)切線斜率和函數(shù)在切點處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得出$f′（0）=\frac{1-a}{{e}^{0}}=0$，這樣可求出a=1，從而求出切點坐標(biāo)，代入切線方程即可求出b=1；
（2）容易求出$g（x）=\frac{{x}^{2}+（1-m）x+1}{{e}^{x}}$，進而求出$g′（x）=\frac{（x-1）（m-x）}{{e}^{x}}$，這樣討論m：0＜m＜1，和m≥1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號便可求出每種情況下g（x）的最大、最小值，而由題意知2g（x）_min＜g（x）_max，這樣即可分別建立關(guān)于m的不等式，解出m的范圍再求并集即可得出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1-x-a}{{e}^{x}}$；
∵f（x）在（0，f（0））處切線斜率為0；
∴$f′（0）=\frac{1-a}{{e}^{0}}=0$；
∴a=1；
∴$f（0）=\frac{1}{{e}^{0}}=b=1$；
（2）$f（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}}，f′（x）=-\frac{x}{{e}^{x}}$；
∴$g（x）=\frac{{x}^{2}+x}{{e}^{x}}-\frac{mx}{{e}^{x}}+\frac{1}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}+（1-m）x+1}{{e}^{x}}$，$g′（x）=\frac{-{x}^{2}+（1+m）x-m}{{e}^{x}}$=$\frac{（x-1）（m-x）}{{e}^{x}}$；
①若0＜m＜1，則：
0≤x＜m時，x-1＜0，m-x＞0，∴g′（x）＜0，m＜x≤1時，x-1≤0，m-x＜0，∴g′（x）≥0；
∴x=m時，g（x）取最小值$\frac{m+1}{{e}^{x}}$，x=1時，g（x）取最大值$\frac{3-m}{{e}^{x}}$；
∴根據(jù)題意，$\frac{2（m+1）}{{e}^{x}}＜\frac{3-m}{{e}^{x}}$；
∴2m+2＜3-m；
∴$0＜m＜\frac{1}{3}$；
②若m≥1，則x-1≤0，m-x≥0；
∴g′（x）≤0；
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減；
∴g（x）在[0，1]上的最小值為g（1）=$\frac{3-m}{{e}^{x}}$，最大值為g（0）=$\frac{1}{{e}^{x}}$；
∴根據(jù)題意，$\frac{2（3-m）}{{e}^{x}}＜\frac{1}{{e}^{x}}$；
∴2（3-m）＜1；
∴$m＞\frac{5}{2}$；
綜上得，實數(shù)m的取值范圍為$（0，\frac{1}{3}）∪（\frac{5}{2}，+∞）$．

點評 考查商的導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)在切點處導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系，切點在切線上，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)在閉區(qū)間上最大、最小值的方法和過程．