Question

12．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點，E是AC的中點
（1）求證：BE⊥A₁C；
（2）求二面角C₁-AD-C的余弦值； 
（3）試問線段A₁B₁上是否存在點F，使AF與DC₁成60°角？若存在，確定F點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)AB=BC=2AA₁=2．只要得到$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0，即可證明$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}C}$．
（2）設(shè)平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$．取平面ADC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．
（3）假設(shè)在線段A₁B₁上存在點F（0，t，1），（t∈[0，2]），使AF與DC₁成60°角．求出cos$＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{D{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{D{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$，進(jìn)而得出．

解答 （1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AB=BC=2AA₁=2．
B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0），D（1，0，0），
A₁（0，2，1），C₁（2，0，1）．
$\overrightarrow{BE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2，-2，-1），
∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=2-2=0，∴$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，
即BE⊥A₁C．
（2）解：$\overrightarrow{AD}$=（1，-2，0），$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），
設(shè)平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2，1，-2）．
取平面ADC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
則cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{9}×1}$=-$\frac{2}{3}$．
由圖可知：二面角C₁-AD-C的平面角為銳角，因此二面角C₁-AD-C的余弦值為$\frac{2}{3}$．
（3）解：假設(shè)在線段A₁B₁上存在點F（0，t，1），（t∈[0，2]），使AF與DC₁成60°角．
$\overrightarrow{AF}$=（0，t-2，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（1，0，1），
則cos$＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{D{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{D{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{（t-2）^{2}+1}}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{（t-2）^{2}+1}}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
解得t=1，
因此在線段A₁B₁上存在點F（0，1，1），（t∈[0，2]），使AF與DC₁成60°角．

點評 本題考查了空間角、利用法向量的夾角求二面角、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．