Question

17．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分圖象如圖，M是圖象的一個最低點(diǎn)，圖象與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{π}{2}$，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\sqrt{2}$）．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[0，2π]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用y=Asin（ωx+φ）的部分圖象可求得其周期T=4π，從而可求得ω；由其圖象與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{π}{2}$，0）及|φ|＜$\frac{π}{2}$可求得φ，當(dāng)x=0時，y=Asin（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，可求得A；
（2）求出函數(shù)f（x）在x∈[0，2π]的取值情況，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由圖可知，函數(shù)的周期T=4×[$\frac{π}{2}$-（-$\frac{π}{2}$）]=4π，
∴$\frac{2π}{ω}$=4π，ω=$\frac{1}{2}$；
∵圖象與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{π}{2}$，0），
∴Asin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=0，
∴sin（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{4}$+φ=kπ，故φ=kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z）．
由|φ|＜$\frac{π}{2}$得，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴y=Asin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
當(dāng)x=0時，y=Asin（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，
∴A=2．
綜上可知，A=2，ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
當(dāng)x∈[0，2π]時，$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，可得：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
由f（x）-m=0得f（x）=m，要使方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有兩個不同的解，
則f（x）=m在x∈[0，2π]上有兩個不同的解，即函數(shù)f（x）和y=m在x∈[0，2π]上有兩個不同的交點(diǎn)，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤m＜1．

點(diǎn)評 本題考查y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數(shù)解析式，求得A、ω、φ的值是關(guān)鍵，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．