Question

9．6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？
（1）甲得一本，乙得二本，丙得三本；
（2）平均分成三堆；
（3）甲、乙、丙每人至少得一本．

Answer 1

分析 （1）6本不同根據(jù)乘法原理得出甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法種數(shù)即可；
（2）平均分成三份，每份2本，這是平均分組問題．
（3）分為3類：411，321，222，利用排列組合知識，即可得出結論．

解答 解：（1）分成三堆的方法有$C_6^1$$C_5^2$$C_3^3$種，而每種分組方法僅對應一種分配方法，
故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦為$C_6^1$$C_5^2$$C_3^3$=60 種．
（2）6本不同的書平均分成三堆，有$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{2}{•C}_{2}^{2}}{3!}$=15種分堆方法．
（3）共計分為3類：①按照4、1、1分，共有${C}_{6}^{1}{•C}_{5}^{1}{•C}_{4}^{4}$•3=90；②按照3、2、1分，共有${C}_{6}^{1}{•C}_{5}^{2}{•C}_{3}^{3}$•${A}_{3}^{3}$=360種；
③按照2、2、2分，共有${C}_{6}^{2}$•${C}_{4}^{2}$•${C}_{2}^{2}$=90種，
故共有90+360+90=540種．

點評 本題考查排列、組合的實際應用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確分類是關鍵，屬于中檔題．