Question

12．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{b_n}{1-a_n^2}$．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=$\frac{{{a_n}-a_n^2}}{{{2^n}（{1-2{a_n}}）（{1-3{a_n}}）}}$，求證：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n≥$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和迭代法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）先化簡{c_n}，根據(jù)數(shù)列的求和公式和放縮法則即可證明．

解答 解：（1）由于a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{b_n}{1-a_n^2}$，
∴${b_{n+1}}=\frac{b_n}{1-a_n^2}=\frac{1}{{1+{a_n}}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$，
∴${b_{n-1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1=\frac{{{b_n}-1}}{{2-{b_n}}}$，
∴$\frac{1}{{{b_{n-1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_n}-1}}-1$，
∴$\frac{1}{{{b_{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{b_n}-1}}=-1$，
∴$\frac{1}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_1}-1}}+（{-1}）×（{n-1}）=-4-n+1=-n-3$，
∴b_n-1=-$\frac{1}{n+3}$，
∴b_n=1-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n+2}{n+3}$
（2）∵${a_n}=1-{b_n}=\frac{1}{n+3}$，
∴${c_n}=\frac{{{a_n}-a_n^2}}{{{2^n}（{1-2{a_n}}）（{1-3{a_n}}）}}=\frac{{\frac{1}{a_n}-1}}{{{2^n}（{\frac{1}{a_n}-2}）（{\frac{1}{a_n}-3}）}}$=$\frac{n+2}{{n（{n+1}）•{2^n}}}=\frac{1}{{n•{2^{n-1}}}}-\frac{1}{{（{n+1}）•{2^n}}}$
∴${S_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}=1-\frac{1}{{2×{2^1}}}+\frac{1}{{2×{2^1}}}-\frac{1}{{3×{2^2}}}+\frac{1}{{3×{2^2}}}-\frac{1}{{4×{2^3}}}+…$$+\frac{1}{{n•{2^{n-1}}}}-\frac{1}{{（{n+1}）•{2^n}}}=1-\frac{1}{{（{n+1}）•{2^n}}}≥1-\frac{1}{2×2}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“放縮法”、“迭代法“，考查了轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．