Question

17．S_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n-1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系可得，又a_n＞0，即可求出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）依題意有${（{a_n}+1）^2}=4{S_n}$①，
當(dāng)n=1時(shí)，（a₁-1）²=0，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2是，（a_n-1+1）²=4S_n-1，②，
①-②得（a_n+a_n-1）（a_n+a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-2=0（n≥2），
∴{a_n}成等差數(shù)列，得a_n=2n-1．
（2）${b_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．