Question

10．如圖，AB是圓的直徑，PA⊥圓所在的平面，C是圓上的點．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角P-BC-A的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得PA⊥BC，由直徑所對圓周角為直角可得BC⊥AC，再由線面垂直的判定得BC⊥平面PAC，最后由面面垂直的判定得平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∠PCA為二面角P-BC-A的平面角，結(jié)合等腰直角三角形得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥圓所在的平面，∴PA⊥BC，
∵AB是圓的直徑，且C是圓上的點，∴BC⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
而BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△PAC中，∵AC=PA，∴∠PCA=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查直線與平面、平面與平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，是中檔題．