Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）在[

1

3

，e]上的值域；
（2）對(duì)?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，f′（x）=lnx+1；從而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求值域即可；
（2）2f（x）≥g（x）可化為2xlnx≥-x²+ax-3；故a≤2lnx+x+

3

x

；令F（x）=2lnx+x+

3

x

，從而化恒成立問題為最值問題；
（3）不等式lnx＞

1

ex

-

2

ex

可化為lnx•x＞

x

ex

-

2

e

；從而可證明lnx•x≥-

1

e

，

x

ex

-

2

e

≤-

1

e

；且等號(hào)不能同時(shí)成立，從而證明．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=lnx+1；
故當(dāng)x∈[

1

3

，

1

e

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

1

e

，e]時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在[

1

3

，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，e]上單調(diào)遞增；
且f（

1

e

）=-

1

e

；f（

1

3

）=-

ln3

3

；f（e）=e；
故函數(shù)f（x）在[

1

3

，e]上的值域?yàn)閇-

1

e

，e]；
（2）對(duì)x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）可化為
2xlnx≥-x²+ax-3；
故a≤2lnx+x+

3

x

；
令F（x）=2lnx+x+

3

x

，
則F′（x）=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

；
故F（x）=2lnx+x+

3

x

在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
故F（x）≥F（1）=1+3=4；
故對(duì)?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立可化為a≤4；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤4；
（3）證明：不等式lnx＞

1

ex

-

2

ex

可化為lnx•x＞

x

ex

-

2

e

；
由（I）得：lnx•x≥-

1

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e

時(shí)，取最小值；
設(shè)m（x）=

x

ex

-

2

e

；則m′（x）=

1-x

ex

，
∵x∈（0，1）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，m（x）取最大值-

1

e

；
故對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化為最值問題，屬于難題．