Question

已知曲線C的方程為（1-2k）x²+y²-1=0，下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)為

 

．
①當(dāng)k＞

1

2

時(shí)，C是雙曲線；
②當(dāng)k＜

1

2

時(shí)，C是橢圓；
③當(dāng)k=

1

2

時(shí)，C是拋物線；
④C不可能是兩條直線．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：線C的方程為（1-2k）x²+y²-1=0，可化為：

x2

1 1-2k

+y²=1，根據(jù)橢圓，圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：當(dāng)k＞

1

2

時(shí)，C是雙曲線；k＜

1

2

且k≠0時(shí)，C是橢圓，當(dāng)k=

1

2

時(shí)，C是兩條直線；當(dāng)k=0時(shí)，C是圓；進(jìn)而可得答案．

解答： 解：曲線C的方程為（1-2k）x²+y²-1=0，可化為：

x2

1 1-2k

+y²=1，
對于①，當(dāng)k＞

1

2

時(shí)，

1

1-2k

＜0，C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故正確；
對于②，當(dāng)k＜

1

2

且k≠0時(shí)，C是橢圓，故錯(cuò)誤；
對于③，當(dāng)k=

1

2

時(shí)，y²-1=0，表示兩條與x軸平行的直線，故錯(cuò)誤；
對于④，由③得，當(dāng)k=

1

2

時(shí)，y²-1=0，表示兩條與x軸平行的直線，故錯(cuò)誤；
故正確命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
故答案為：1

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．