Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（Ⅰ）當(dāng)sinθ=-$\frac{1}{2}$，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題目條件，可以確定函數(shù)的解析式 f（x）=x2+x-1=（x+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{5}{4}$，從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在 x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是單調(diào)增函數(shù)，利用對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，求出-sinθ≤-$\frac{1}{2}$即可得到θ的取值范圍．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）當(dāng)sinθ=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=x²-x-1=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
由 x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，當(dāng) x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有最小值為-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值-$\frac{1}{4}$…（7分）
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的圖象的對(duì)稱軸為x=-sinθ，
要使f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是單調(diào)增函數(shù)，則-sinθ≤-$\frac{1}{2}$…（11分）
又∵θ∈[0，2π），
所求θ的取值范圍是：θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，利用配方求得其對(duì)稱軸，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題，屬于中檔題．