Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+2x
（1）求在點(diǎn)（0，0）處曲線y=f（x）的切線方程；
（2）求過點(diǎn)（-1，-3）的曲線y=f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）分點(diǎn)（-1，-3）是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩類求，先求出函數(shù)x³+2x的導(dǎo)函數(shù)，然后求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2，
可得在點(diǎn)（0，0）處曲線y=f（x）的切線斜率為2，
切線方程為y=2x；
（2）f′（x）=3x²+2．設(shè)切線的斜率為k．
顯然切點(diǎn)不是點(diǎn)（-1，-3），設(shè)切點(diǎn)是（x₀，y₀），
則有y₀=${{x}_{0}}^{3}$+2x₀，①
k=f′（x₀）=3x₀²+2，
又k=$\frac{{y}_{0}+3}{{x}_{0}+1}$=3x₀²+2，②
由①②得x₀=-1，（舍）或x₀=$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{11}{4}$．檢驗(yàn)當(dāng)x₀=-1時(shí)，也成立，可得k=5．
∴所求曲線的切線方程為：y=5x+2或11x-4y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；注意“在點(diǎn)處的切線”與“過點(diǎn)的切線”的區(qū)別．屬于中檔題．