Question

16．已知函數f（x）=x³+2x
（1）求在點（0，0）處曲線y=f（x）的切線方程；
（2）求過點（-1，-3）的曲線y=f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用導數的幾何意義：切點處的導數值是切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程；
（2）分點（-1，-3）是切點和不是切點兩類求，先求出函數x³+2x的導函數，然后求出在切點處的導數，從而求出切線的斜率，利用點斜式方程求出切線方程即可．

解答 解：（1）函數f（x）=x³+2x的導數為f′（x）=3x²+2，
可得在點（0，0）處曲線y=f（x）的切線斜率為2，
切線方程為y=2x；
（2）f′（x）=3x²+2．設切線的斜率為k．
顯然切點不是點（-1，-3），設切點是（x₀，y₀），
則有y₀=${{x}_{0}}^{3}$+2x₀，①
k=f′（x₀）=3x₀²+2，
又k=$\frac{{y}_{0}+3}{{x}_{0}+1}$=3x₀²+2，②
由①②得x₀=-1，（舍）或x₀=$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{11}{4}$．檢驗當x₀=-1時，也成立，可得k=5．
∴所求曲線的切線方程為：y=5x+2或11x-4y-1=0．

點評 本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，考查導數的幾何意義：切點處的導數值是切線的斜率；注意“在點處的切線”與“過點的切線”的區(qū)別．屬于中檔題．