Question

設數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a₃=2，且對任意正整數(shù)n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，則a₁+a₂+…+a₁₀₀的值為（　�。�

• A、200
• B、180
• C、160
• D、100

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a₃=2，且對任意正整數(shù)n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，令n=1，可得2a₄=4+a₄，解得a₄=4；同理可得a₅=a₆=1，a₇=2，a₈=4．可得數(shù)列{a_n}是周期為4的數(shù)列，即可得出．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a₃=2，且對任意正整數(shù)n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，
令n=1，可得2a₄=4+a₄，解得a₄=4，
同理可得a₅=a₆=1，a₇=2，a₈=4．
∴數(shù)列{a_n}是周期為4的數(shù)列，
∴a₁+a₂+…+a₁₀₀=25（a₁+a₂+a₃+a₄）=25×（1+1+2+4）=200．
故選：A．

點評：本題考查了數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．