Question

6．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜$\frac{1}{2}$，則不等式f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，根據(jù)題意可得函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$可得f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{2}$＜f（1）-$\frac{1}{2}$，最后根據(jù)單調(diào)性可求出x的取值范圍．

解答 解：設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，則F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，∴F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減
而f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
即f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{2}$＜f（1）-$\frac{1}{2}$，
∴F（x²）＜F（1）而函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，
∴x²＞1即x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及利用單調(diào)性解不等式和構(gòu)造法的應(yīng)用，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．