Question

8．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．
（1）求a的值；
（2）求$sin（A+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，二倍角公式結(jié)合已知可得$\frac{a}{2sinBcosB}$=$\frac{3}{sinB}$，整理得a=6cosB，由余弦定理可解得a的值，
（2）由（1）及已知利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵A=2B，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，b=3，c=1，
∴$\frac{a}{2sinBcosB}$=$\frac{3}{sinB}$，整理得：a=6cosB，
∴由余弦定理可得：a=6×$\frac{{a}^{2}+1-9}{2a}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，
（2）∵b=3，c=1，a=2$\sqrt{3}$，可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+1-12}{2×3×1}$=-$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$sin（A+\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．