分析 (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和定義域,結(jié)合函數(shù)的切線方程建立方程關(guān)系進(jìn)行求解,
(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可,
(3)利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.
解答 解:(1)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),${f^'}(x)=x-(a+2)+\frac{2a}{x}$,
∴$f(1)=\frac{1}{2}-(a+2)=2+b$,f′(1)=1-(a+2)+2a=2
解得a=3,b=-$\frac{13}{2}$,∴a+2b=-10.
(2)${f^'}(x)=\frac{{{x^2}-(a+2)x+2a}}{x}=\frac{(x-2)(x-a)}{x}$,
當(dāng)a=2時,f′(x)≥0⇒x∈(0,+∞),∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)
當(dāng)0<a<2時,由f′(x)>0⇒x∈(0,a)∪(2,+∞),
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a),(2,+∞)
由f′(x)<0⇒x∈(a,2),∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(a,2).
當(dāng)a>2時,由f′(x)>0⇒x∈(0,2)∪(a,+∞),∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2),(a,+∞)
由f′(x)<0⇒x∈(2,a),∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2,a).
綜上所述:當(dāng)a=2時,f′(x)≥0⇒x∈(0,+∞),∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),
當(dāng)0<a<2時,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a),(2,+∞),f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(a,2)
當(dāng)a>2時,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(a,+∞),f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2,a).
(3)若至少存在一個x0∈[e,4],使得f(x0)>g(x0),
∴$\frac{1}{2}{x^2}+2alnx>0$,
當(dāng)x∈[e,4]時,lnx>1,
∴$2a>-\frac{{\frac{1}{2}{x^2}}}{lnx}$有解,令$h(x)=-\frac{{\frac{1}{2}{x^2}}}{lnx}$,
∴2a>h(x)min
${h^'}(x)=-\frac{{xlnx-\frac{1}{2}{x^2}•\frac{1}{x}}}{{{{(lnx)}^2}}}=-\frac{{x(lnx-\frac{1}{2})}}{{{{(lnx)}^2}}}<0$,
∴h(x)在[e,4]上單調(diào)遞減,h(x)min=h(4)=-$\frac{\frac{1}{2}×4}{ln4}$=-$\frac{2}{2ln2}$=-$\frac{1}{ln2}$,
∴2a>-$\frac{1}{ln2}$,即a>-$\frac{1}{2ln2}$.
點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,以及導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合,考查學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng),難度較大.
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{10}$ | C. | 3$\sqrt{2}$ | D. | 2 |
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A. | 5377 | B. | -5377 | C. | 5375 | D. | -5375 |
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