Question

1．在直角坐標系xOy中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數），其中0≤θ≤π，橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），其中0≤φ＜2π，直線l與y軸的正半軸交于點M，與橢圓C交于A，B兩點，其中點A在第一象限．
（1）寫出橢圓C的普通方程及點M對應的參數t_M（用θ表示）；
（2）設橢圓C的左焦點F₁，若|F₁B|=|AM|，求直線l的傾斜角θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數的關系消參數即可得出橢圓C的普通方程，令-$\sqrt{2}$+tcosθ=0，即可得出t_M；
（2）把直線參數方程代入橢圓方程，設點A、B對應的參數為t_A、t_B，由|F₁B|=|AM|結合參數t的幾何意義得：t_A+t_B=t_M，求解即可．

解答 解：（1）橢圓C的普通方程是：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
令-$\sqrt{2}$+tcosθ=0，得t=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$，∴點M對應的參數t_M=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$．
（2）橢圓的左焦點為F₁（-$\sqrt{2}$，0）．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得（3sin²θ+cos²θ）t²-2$\sqrt{2}$cosθ•t-1=0，
設A，B對于的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\frac{2\sqrt{2}cosθ}{3si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，
∵|F₁B|=|AM|，∴t₁+t₂=|F₁M|=t_M，
即$\frac{2\sqrt{2}cosθ}{3si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$，解得sinθ=$\frac{1}{2}$，
∵M位于y軸的正半軸，∴θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，參數方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．