Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²+|x-2a|，其中a＞0
（1）當a=1時，求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-b在[0，+∞）上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的f（x）的解析式，討論當x≥2時，當0≤x＜2時，f（x）的解析式和單調區(qū)間，即可得到所求最小值；
（2）由題意可得y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點．求出f（x）的分段函數(shù)，討論當$\frac{1}{2a}$＞2a，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，當$\frac{1}{2a}$≤2a，即a≥$\frac{1}{2}$時，求出單調區(qū)間，可得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²+|x-2|，
當x≥2時，f（x）=x²+x-2的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
可得f（x）遞增，即有x=2時取得最小值4；
當0≤x＜2時，f（x）=x²+2-x的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
可得f（x）在x=$\frac{1}{2}$時取得最小值$\frac{7}{4}$．
綜上可得f（x）的最小值為$\frac{7}{4}$；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-b在[0，+∞）上有兩個零點，
即為ax²+|x-2a|=b，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x-2a，x≥2a}\\{a{x}^{2}-x+2a，0≤x＜2a}\end{array}\right.$，
當$\frac{1}{2a}$＞2a，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，2a）遞減，（2a，+∞）遞增，
可得f（2a）取得最小值，且為4a³，
即有4a³＜b≤f（0）=2a，函數(shù)g（x）有兩個零點；
當$\frac{1}{2a}$≤2a，即a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）遞減，（$\frac{1}{2a}$，2a）遞增，
（2a，+∞）遞增，可得f（$\frac{1}{2a}$）取得最小值，且為$\frac{8{a}^{2}-1}{4a}$，
即有$\frac{8{a}^{2}-1}{4a}$＜b≤f（0）=2a，函數(shù)g（x）有兩個零點．
綜上可得，0＜a＜$\frac{1}{2}$時，4a³＜b≤2a，函數(shù)g（x）有兩個零點；
a≥$\frac{1}{2}$時，$\frac{8{a}^{2}-1}{4a}$＜b≤2a，函數(shù)g（x）有兩個零點．

點評 本題考查函數(shù)的最小值的求法，注意運用去絕對值由二次函數(shù)的最值的求法，考查函數(shù)的零點的求法，注意運用分類討論的思想方法，運用二次函數(shù)的單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．