Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，當(dāng)0＜ξ-η＜1時(shí)，關(guān)于函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+（b+2）x+（c-b+η）lnx+d在區(qū)間（η+1，ξ+1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，正確的是（　�。�

• A． 至少有一個(gè)零點(diǎn)
• B． 至多有一個(gè)零點(diǎn)
• C． 可能存在2個(gè)零點(diǎn)
• D． 可能存在3個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=x³+bx+c=（x-η）（x-ξ）²，進(jìn)一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ²=b，-ηξ²=c，且x∈（-2ξ，ξ），把函數(shù)g（x）求導(dǎo)，用η，ξ表示b，c，二次求導(dǎo)可得在區(qū)間（η+1，ξ+1）內(nèi)h′（x）＜0，則答案可求．

解答 解：∵η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，
∴f（x）=x³+bx+c=（x-η）（x-ξ）²，
即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ²=b，-ηξ²=c，且x∈（-2ξ，ξ），
由0＜ξ-η＜1，得0＜ξ$＜\frac{1}{3}$，$-\frac{2}{3}＜$η＜0，
則g′（x）=x²-3x+（b+2）+$\frac{c-b+η}{x}$=$\frac{{x}^{3}-3{x}^{2}+（b+2）x+c-b+η}{x}$，
令h（x）=x³-3x²+（b+2）x+c-b+η=x³-3x²+（2-3ξ²）x+2ξ³+3ξ²-2ξ
=（x-1）³-（1+3ξ²）（x-1）+2ξ²-2ξ，
則h′（x）=3（x-1）²-（3ξ²+1），當(dāng)x∈（-2ξ+1，ξ+1）時(shí)，h′（x）＜h′（-2ξ+1）=（3ξ+1）（3ξ-1）＜0．
∴h（x）在（η+1，ξ+1）上為減函數(shù)，
而h（-2ξ+1）=-8ξ³+2ξ（3ξ²+1）+（2ξ³-2ξ）=0，當(dāng)x∈（-2ξ+1，ξ+1）時(shí)，h′（x）＜h′（-2ξ+1）=0，
即當(dāng)x∈（-2ξ+1，ξ+1）時(shí)，h′（x）＜0，
∴g（x）在（η+1，ξ+1）上為減函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問題，是壓軸題．