Question

19．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)M在橢圓上，且MF₂⊥x軸，過(guò)F₂作與OM垂直的弦CD，若△F₁CD的面積為20$\sqrt{3}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$b．因此橢圓的方程化為：x²+2y²=2c²．把x=c代入橢圓方程解得y，不妨取M$（c，\frac{\sqrt{2}c}{2}）$，由于CD⊥OM，可得k_CD=-$\sqrt{2}$．直線CD的方程為：y=-$\sqrt{2}$（x-c）．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²-8cx+2c²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|CD|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．求出點(diǎn)F₁（-c，0）到直線CD的距離d，利用${S}_{△{F}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}$d|CD|=20$\sqrt{3}$，解出即可得出．

解答 解：∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$b．因此橢圓的方程化為：x²+2y²=2c²．
把x=c代入橢圓方程可得：c²+2y²=2c²，解得y=±$\frac{c}{\sqrt{2}}$，不妨取M$（c，\frac{\sqrt{2}c}{2}）$，
∴k_OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_CD=-$\sqrt{2}$．
∴直線CD的方程為：y=-$\sqrt{2}$（x-c）．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}（x-c）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，化為：5x²-8cx+2c²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8c}{5}$，x₁•x₂=$\frac{2{c}^{2}}{5}$，
∴|CD|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{3（\frac{64{c}^{2}}{25}-4×\frac{2{c}^{2}}{5}）}$=$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$．
點(diǎn)F₁（-c，0）到直線CD的距離d=$\frac{|\sqrt{2}c+\sqrt{2}c|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}$d|CD|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$×$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$=20$\sqrt{3}$，
解得c²=150．
∴a²=300，b²=150．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{300}$+$\frac{{y}^{2}}{150}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．