Question

13．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0（O為坐標(biāo)原點），且|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}+2}{2}$
• B． $\sqrt{3}$+2
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得|OP|=|OF₂|=c=|OF₁|，可得PF₁⊥PF₂，運用雙曲線的定義和已知條件，可得|PF₂|=2（$\sqrt{2}$+1）a，|PF₁|=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+1）a，再由勾股定理和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
可得$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²=0，
即有|OP|=|OF₂|=c=|OF₁|，
可得PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₂|=2（$\sqrt{2}$+1）a，|PF₁|=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+1）a，
由勾股定理可得|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
即4c²=4（3+2$\sqrt{2}$）a²+8（3+2$\sqrt{2}$）a²，
化簡可得c²=（9+6$\sqrt{2}$）a²，
由離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，其中判斷△PF₁F₂是直角三角形是解題的關(guān)鍵．