Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)M曲線C₁上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到曲線C₂的距離d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數(shù)展開表達(dá)式，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化求解即可．
（2）設(shè)M（4cosθ，3sinθ），表示出M到曲線C₂：x+y=5的距離，然后求解表達(dá)式的最值．

解答 解：（1）由$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$得ρcosθ+ρsinθ=5，
將ρcosθ=x，ρsinθ=y代入得到x+y=5…（5分）
（2）設(shè)M（4cosθ，3sinθ），M到曲線C₂：x+y=5的距離，$d=\frac{{|{4cosθ+3sinθ-5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{5sin（{θ+φ}）-5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{5\sqrt{2}|{sin（{θ+φ}）-1}|}}{2}$，
當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，${d_{max}}=5\sqrt{2}$，當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，d_min=0．所以$d∈[{0，5\sqrt{2}}]$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．