Question

16．△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三邊分別是a，b，c，已知2（a²-b²）=2accosB+bc．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若點D為BC上一點，且BD=2DC，BA⊥AD，求角B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合余弦定理可得cosA，從而求得A；
（Ⅱ）設(shè)DC為1個單位長度，則BD=2，在Rt△ABD中，則AB=BDcosB=2cosB．在△ADC中，由正弦定理可得AB=AC，則角B可求．

解答 解：（Ⅰ）由$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，得$2（{a}^{2}-^{2}）=2ac•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}+bc$，
即b²+c²-a²=-bc，
∴$cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2}{3}π$；
（Ⅱ）設(shè)DC為1個單位長度，則BD=2，
在Rt△ABD中，AB=BDcosB=2cosB．
在△ADC中，由正弦定理$\frac{CD}{sin∠DAC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{1}{sin（\frac{2π}{3}-\frac{π}{2}）}=\frac{AC}{sin（B+\frac{π}{2}）}$，
∴AC=2cosB，則AB=AC．
故B=C=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．