Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₁₃＞S₆＞S₁₄，a₂=24
（1）求公差d的取值范圍；
（2）問數(shù)列{S_n}是否存在最大項，若存在，求出最大時的n，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₂+8d＞0，2a₂+17d＜0，代值計算不等式可得；
（2）由（1）知等差數(shù)列{a_n}的前10項為正數(shù)，從第11項起為負(fù)數(shù)，可得當(dāng)n=10時，S_n最大．

解答： 解：（1）由題意可得

S13-S6=a7+a8+…+a13=7a10＞0 S14-S6=a7+a8+…+a14=4(a10+a11)＜0

，
化簡可得a₂+8d＞0，2a₂+17d＜0，即24+8d＞0，48+17d＜0
解得-3＜d＜-

48

17

，
∴公差d的取值范圍為-3＜d＜-

48

17

；
（2）由（1）知a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0，∴a₁₀＞0＞a₁₁，
∴等差數(shù)列{a_n}的前10項為正數(shù)，從第11項起為負(fù)數(shù)，
∴當(dāng)n=10時，S_n最大．

點評：本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及不等式的性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題．